Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} p & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & p \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (1 p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 2.2

Multipliez $p$ par $1$ .

$p (p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (1 p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez $p$ par $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $q$ par $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p \cdot p + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.2

Multipliez $p$ par $p$ .

$p^{2} + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p^{2} - p q - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$p^{2} - p q - q p - q \cdot - 1 + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.5

Multipliez $- q \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p^{2} - p q - q p + 1 q + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $q$ par $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + 1 (q - 1)$

Étape 5.1.6

Multipliez $q - 1$ par $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + q - 1$

Étape 5.2

Soustrayez $q p$ de $- p q$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Déplacez $q$ .

$p^{2} - p q - 1 p q + q + q - 1$

Étape 5.2.2

Soustrayez $p q$ de $- p q$ .

$p^{2} - 2 p q + q + q - 1$

Étape 5.3

Additionnez $q$ et $q$ .

$p^{2} - 2 p q + 2 q - 1$